INTEGRAL LIPAT DUA DALAM TABUNG

KATA PENGANTAR

Puji syukur di sampaikan kepada Allah SWT, shalawat dan salam semoga dilimpahkan Allah kepada nabi Muhammad SAW , keluarga, sahabat, serta seluruh pengikutnya.

Atas rahmat dan karunia Allah SWT makalah ini dapat disusun sebagai tugas kelompok  makalah pada mata kuliah KALKULUS 3 yang dipergunakan untuk semester III. Diharapkan makalah ini dapat menjadi bahan tambahan.

Diharapkan kepada para pembaca memberikan kritik dan sarannya kepada kami, agar kami dapat memperbaiki makalah saya, sehingga lebih baik untuk kedepannya. Kami mohon dukungan yang besar dari para pembaca karena tidak menutup kemungkinan adanya kekeliruan pada makalah ini.

Kami ucapakan banyak terima kasih kepada semua pihak atas dukungannya.

                                                                                                Medan, 14 November  2012

                                                                                                            Penyusun

DAFTAR ISI

 TOC \o "1-3" \h \z \u KATA PENGANTAR.. PAGEREF _Toc340609573 \h i 08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F0054006F0063003300340030003600300039003500370033000000

DAFTAR ISI. PAGEREF _Toc340609574 \h ii 08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F0054006F0063003300340030003600300039003500370034000000

BAB I. PAGEREF _Toc340609575 \h 1 08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F0054006F0063003300340030003600300039003500370035000000

PENDAHULUAN.. PAGEREF _Toc340609576 \h 1 08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F0054006F0063003300340030003600300039003500370036000000

BAB II. PAGEREF _Toc340609577 \h 2 08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F0054006F0063003300340030003600300039003500370037000000

PEMBAHASAN.. PAGEREF _Toc340609578 \h 2 08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F0054006F0063003300340030003600300039003500370038000000

A.     INTEGRAL LIPAT TIGA.. PAGEREF _Toc340609579 \h 2 08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F0054006F0063003300340030003600300039003500370039000000

B.     INTEGRAL LIPAT TIGA KOORDINAT TABUNG.. PAGEREF _Toc340609580 \h 2 08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F0054006F0063003300340030003600300039003500380030000000

C.     SENTROID DAN MOMEN INERSIA.. PAGEREF _Toc340609581 \h 4 08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F0054006F0063003300340030003600300039003500380031000000

D.     CONTOH-CONTOH SOAL.. PAGEREF _Toc340609582 \h 4 08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F0054006F0063003300340030003600300039003500380032000000

BAB III. PAGEREF _Toc340609583 \h 7 08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F0054006F0063003300340030003600300039003500380033000000

PENUTUP. PAGEREF _Toc340609584 \h 7 08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F0054006F0063003300340030003600300039003500380034000000

KESIMPULAN.. PAGEREF _Toc340609585 \h 7 08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F0054006F0063003300340030003600300039003500380035000000

DAFTAR PUSTAKA.. PAGEREF _Toc340609586 \h 8 08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000E0000005F0054006F0063003300340030003600300039003500380036000000

BAB I

PENDAHULUAN

            Apabila daerah S di R₃ mempunyai sumbu simetri, integral lipat tiga pada S akan lebih mudah diselesaikan apabila dipakai koordinat tabung.

            Apabila daerah S mempunyai titik simetri, biasanya titik tersebut dipilih sebagai titik asal dan digunakan koordinat bola. Pada sub bab ini dibahas integral lipat tiga dengan memakai koordinat tabung, dan pemekaiannya dalam masalah – masalah fisika.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    INTEGRAL LIPAT TIGA

Integral lipat tiga  dari suatu fungsi tiga variabel bebas terhadap daerah tertutup R, bervolume V, di mana fungsi bernilai tunggal dan kontinu merupakan suatu pengembangan dari integral tunggal dan lipat dua.

Jika f(x,y,z) =1 maka integral menjadi

Dapat diartikan pengukuran volume daerah R.

Dalam koordinat tegak lurus integral berganda ini menjadi :

.[1]

B.     INTEGRAL LIPAT TIGA KOORDINAT TABUNG

Gambar 1 berfungsi untuk mengingatkan kita tentang arti koordinat tabung dan mempergerakkan lambang-lambang yang akan kita gunakan. Koordinat Tabung dan Cartesius (persegi panjang) dihubungkan oleh persamaan-persamaan.

                     

Sebagai hasil, fungsi f(x,y,z) ditransformasikan ke

Bilamana dituliskan dalam kooordinat tabung.[2]

                        z

                                                Koordinat tabung

                                    P(

         0               Z                                                        y

                       

X

Gambar 1

            z

                                                z=u₂(x,y)

0                                                                                                                                                          Z=u₁(x,y)                                      y

r=h₁(

x

                                                            r=h₂(

Gambar 2

Persamaan 1

Dari persamaan 1 dapatlah diperoleh

Persamaan 2

Rumus 2 adalah rumus untuk pengintegralan lipat tiga dalam koordinat tabung. Rumus ini mengatakan bahwa kita mengalihkan integral lipat tiga dari koordinat siku-siku ke koordinat tabung dengan menuliskan  membiarkan z apa adanya, dengan menggunakan limit-limit pengintegralan yang sesuai untuk z,r,dan , serta dengan menggantikan dV oleh . adalah menguntungkan untuk menggunakan rumus ini ketika E adalah daerah pejal yang secara mudah dideskripsikan dalam koordinat silinder, dan terutama ketika fungsi f(x,y,z) melibatkan ekspresi x²+y².[3]

C.    SENTROID DAN MOMEN INERSIA

Integral lipat tiga dan koordinat tabung dapat dipakai untuk menentukan moment inersia suatu benda padat terhadap sumbu z, sebab jarak dari titik pada benda padat terhadap sumbu z dapat dinyatakan oleh koordinat r.[4]

Koordinat (  dari sentroid volume memenuhi hubungan-hubungan

                                  

Moment inersia dari volume terhadap sumbu koordinat diberikan oleh

                                       .[5]

D.    CONTOH-CONTOH SOAL

Ø  CONTOH SOAL INTEGRAL LIPAT TIGA

Hitunglah .[6]

Jawab :

=

Ø  Contoh soal integral lipat tiga dalam koordinat tabung

1.      Suatu benda padat homogen berbentuk tabung lingkaran tegak mempunyai jari-jari 2 kaki dan tinggi 4 kaki. Tentukan moment inersia dari benda padat tersebut terhadap sumbunya.[7]

2.      Hitunglah integral lipat tiga dari f(ρ,θ,z)=ρ ² terhadap daerah R dibatasi oleh paraboloid ρ ² = 9-z dan bidang z = 0.[8]

Jawab :

1.         Pilih sebagai bidang – bidang koordinat demikian sehingga bidang xoy berimpit dengan bidang alas benda padat, dan sumbu z sama dengan sumbu benda padat tersebut. Gambar 3 berikut menunjukkan sebagian benda padat pada oktan pertama beserta dengan daerah bagian dari partisi tabung.

         Z

4

 

                                                                                                       

                                                                                                2          Y

 

                                                                                               

2

X

Gambar 3

Dengan memakai koordinat tabung, pilih titik (r_i,θ i, z_i ) pada daerah bagian ke i yang mempunyai rapat massa k slug/kaki². Apabila I_z (dalam slug-kaki²) menyatakan moment inersia dari benda padat terhadap sumbu z, maka didapat :

I_z =

Terdapat enam urutan integrasi yang mungkin dan berbeda. Gambar 3 menunjukkan urutan dz dr dθ . Dengan memakai urutan tersebut, didapat :

Pada integrasi pertama batas-batasnya dari z=0 sampai z=4 datangnya dari selang nilai z. Pada integrasi kedua batas-batasnya dari r = 0 sampai r = 2, batas tersebut datangnya dari jari-jari tabung. Integrasi ketiga batas-batasnya θ  = 0 sampai θ=π2 , hal tersebut dikarenakan yang diperhatikan adalah bagian benda pada oktan pertama. Integral tersebut dikalikan dengan 4 untuk mencakup keseluruhan benda.

Dengan menyelesaikan integrasi di atas, didapat :

Jadi, moment inersia sama dengan 32 k π  slug-kaki².

2.      Titik P pada paraboloid berkoordinat                         p(ρ,θ,z) = 2432

     Z

                                   P

                            0

                             θ                                                                                 Y

BAB III

PENUTUP

KESIMPULAN

Persamaan 1

Dari persamaan 1 dapatlah diperoleh

Persamaan 2

Rumus 2 adalah rumus untuk pengintegralan lipat tiga dalam koordinat tabung. Rumus ini mengatakan bahwa kita mengalihkan integral lipat tiga dari koordinat siku-siku ke koordinat tabung dengan menuliskan  membiarkan z apa adanya, dengan menggunakan limit-limit pengintegralan yang sesuai untuk z,r,dan , serta dengan menggantikan dV oleh . adalah menguntungkan untuk menggunakan rumus ini ketika E adalah daerah pejal yang secara mudah dideskripsikan dalam koordinat silinder, dan terutama ketika fungsi f(x,y,z) melibatkan ekspresi x²+y².

DAFTAR PUSTAKA

 

 

 BIBLIOGRAPHY LEITHOD, L. TERJEMAHAN MARGAT,M (1986). KALKULUS 3 DAN ILMU UKUR ANALITIK. Dalam K. 3. ANALITIK, KALKULUS 3 DAN ILMU UKUR ANALITIK (hal. 631). JAKARTA: PT BINA AKSARA.

MENDELSON, F. A.TERJEMAHAN DANARJAYA,N (2006). SCHAUM'S OUTLINES EDISI KEEMPAT. Dalam S. O. KEEMPAT, SCHAUM'S OUTLINES EDISI KEEMPAT (hal. 351). JAKARTA: ERLANGGA.

SOEMARTOJO, N. (1987). KALKULUS LANJUTAN. Dalam K. LANJUTAN, KALKULUS LANJUTAN (hal. 83). JAKARTA: UI-PRESS.

VERBEG, E. J. TERJEMAHAN SUSILA,IN &KARTASASMITA,B AND RAWUH(1987). CALCULUS WITH GEOMETRY ANALITYC. Dalam E. J. VERBEG, CALCULUS WITH GEOMETRY ANALITIC (hal. 359). JAKARTA: ERLANGGA.

---

[1] Noenik,S.Kalkulus Lanjutan(Jakarta,UI-Press,1987)Hal.83

[2]EdwinJ. Purcell and Dale Varberg Calculus With Analitical Geometry Terjemahan Nyoman Susila dan Bana Kartassmita dan Rawuh (Jakarta, Erlangga,1987)Hal.359

[3] James stewart Calculus, Fourth Edition Terjemahan Nyoman Susila dan Hendra Gunawan (Jakarta,Erlangga,2003)Hal.487

[4] Louis,L,Kalkulus 3 Dan Ilmu Ukur Analitik Terjemahan M.Margata (Jakarta,Bina Aksara,1986)Hal.633

[5] Frank,A & Elliot,M.Schaum’s Outlines Calculus Terjemahan Nur,D(Jakarta,Erlangga,2006)Hal.352

[6] Ibid Soemartojo Hal.83

[7] Ibid Leithod Hal.633

[8] Ibid Soemartojo Hal.87